فرض کنید f تابعی با دامنه با شد و برای هر آنگاه باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت:
تابع f را زوج می گوییم هرگاه:
تابع f را فرد می گوییم هرگاه:
اگر هیچ یک از شرایط فوق برقرار نباشد تابع را نه زوج و نه فرد می گوییم. بقیه مطالب را می خواهی به ادامه مطلب برو
فرض کنید f تابعی با دامنه با شد و برای هر آنگاه باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت:
تابع f را زوج می گوییم هرگاه:
تابع f را فرد می گوییم هرگاه:
اگر هیچ یک از شرایط فوق برقرار نباشد تابع را نه زوج و نه فرد می گوییم.
توجه کنید که شرط اولیه اینکه تابعی بتواند زوج یا فرد باشد این است که دامنه اش متقارن باشد یعنی:
و اگر شرط فوق برقرار نباشد در مورد زوج یا فرد بودن تابع بحث نمی شود.(چرا؟) به عنوان مثال تابع تابعی است نه زوج و نه فرد چرا که دامنه اش برابر است با که متقارن نمی باشد چون 1- عضو دامنه بوده ولی 1 عضو دامنه نمی باشد و شرط اولیه برای زوج یا فرد بودن تابع برقرار نمی باشد.
به عنوان مثال تابع تابعی زوج است چرا که اولا وامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده پس متقارن است و همچنین داریم:
و همچنین تابع تابعی فرد است چرا که دامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده و متقارن است و همچنین:
تابع هم تابعی نه زوج و نه فرد است زیرا:(البته شرط اولیه یعنی متقارن بودن دامنه برقرار است) که در هیچ یک از شراط تابع زوج یا فرد صدق نمی کند.
بررسی زوج و فرد بودن تابع از روی نمودار تابع:
از نظر هندسی نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است.
برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به محور y ها مولفه y ثابت و مولفه x قرینه می شود پس زمانی نسبت به محور y ها متقارن است که با تبدیل x به x- تابع تغییری نکند. پس در چنین تابعی داریم: که این همان تعریف تابع زوج است. به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا زوج بودنش را نشان دادیم به این صورت است:
مشاهده می کنید این تابع نسبت به محور Y ها متقارن است.
از نظر هندسی نمودار تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است.
برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به مبدا همه مولفه ها قرینه می شوند. پس تابع هنگامی نسبت به مبدا متقارن است که با تبدیل x به x- تابع از (f(x به (f(x- تغییر کند. پس در چنین تابعی داریم: که این همان تعریف تابع فرد است. به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا فرد بودنش را بررسی کردیم به این صورت است:
مشاهده می شود این تابع نسبت به مبدا متقارن است. تابعی که هیچ یک از این ویژگی ها را نداشته باشد نه زوج و نه فرد است. به عنوان مثال نمودار های زیر نمونه ای از نمودار های توابع نه زوج و نه فرد است:
حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا تابعی وجود دارد که هم زوج و هم فرد باشد؟
بررسی می کنیم:
اگر چنین تابعی موجود باشد خاصیت زوج بودن و فرد بودن را با هم دارد. فرض کنید تابع با دامنه دارای چنین خاصیتی باشد و داریم:
حال با جمع کردن طرفین:
پس تابع (محور Xها) تنها تابعی است که هم زوج و هم فرد است و نمودار آن به این صورت است:
مشاهده می کنید که نمودار این تابع هم نسبت به مبدا مختصات و هم نسبت به محور Y ها متقارن است پس هم زوج و هم فرد است.
چند خاصیت از توابع زوج و فرد:
اگر f و g دو تابع زوج باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم زوج است.
برهان: باید نشان دهیم:
چون f و g دو تابع زوج هستند طبق فرض داریم:
پس:
لذا تابع fog زوج است به همین روش می توان نشان داد gof هم زوج است.
اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم تابعی فرد است.
برهان: باید نشان دهیم:
چون f و g دو تابع فرد هستند داریم:
پس:
لذا تابع fog تابعی فرد است. به همین روش می توان اثبات نمود gof هم تابعی فرد است.
ترکیب دو تابع که یکی زوج و دیگری فرد باشد همواره تابعی زوج است.
برهان: فرض می کنیم f تابعی زوج دلخواه و g تابعی فرد دلخواه باشد. نشان می دهیم تابع حاصل از ترکیب این دو تابع تابعی فرد است. طبق فرض داریم:
ابتدا نشان می دهیم تابع fog تابعی فرد است.
پس fog تابعی زوج است. حال نشان می دهیم که gof هم زوج است.
پس gof تابعی زوج است. لذا حکم برقرار است.
اگر f و g تابعی زوج باشند آنگاه توابع حاصل از اعمال جبری این دو تابع یعنی:
هم توابعی زوج هستند.(در هر حالت می توان جای fو g را با هم عوض نمود) (البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)
برهان: برای نمونه یک حالت زوج بودن را اثبات می کنیم. سایر حالات به طریقی مشابه اثبات می شوند. چون f و g دو تابع زوج هستند داریم:
پس:
لذا تابع f+g تابعی زوج است.
اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه تابع تابعی فرد و سایر حالات یعنی:توابعی زوج هستند.
(در هر حالت می توان جای f و g را عوض کرد) (البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)
برهان: ابتدا نشان می دهیم تابعی فرد است. چون دو تابع f و g توابعی فرد هستند داریم:
پس:
لذا دو تابع مذکور فرد می باشند. حال نشان می دهیم دو تابع زوج می باشند.
(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)
پس دو تابع مذکور زوج می باشند.
اگر f تابعی زوج و g تابعی فرد باشد آنگاه تابعی نه زوج و نه فرد بوده و توابع توابعی فرد می باشند.
برهان: ابتدا به بررسی تابع پردازیم. چون f زوج و g فرد است داریم:
پس:
پس دو تابع فوق در شرایط تابع زوج یا فرد صدق نمی کنند لذا نه زوج و نه فرد هستند. حال نشان می دهیم در تابع فرد هستند:
(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)
با شد و برای هر 
آنگاه 
باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت: 
تابعی است نه زوج و نه فرد چرا که دامنه اش برابر است با
که متقارن 
تابعی زوج است چرا که اولا وامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده پس متقارن است و همچنین داریم:
تابعی فرد است چرا که دامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده و متقارن است و همچنین:
هم تابعی نه زوج و نه فرد است زیرا:(البته شرط اولیه یعنی متقارن بودن دامنه برقرار است) 
که در هیچ یک از شراط تابع زوج یا فرد صدق نمی کند.
زمانی نسبت به محور y ها متقارن است که با تبدیل x به x- تابع تغییری نکند. پس در چنین تابعی داریم: 
که این همان تعریف تابع زوج است. 
که این همان تعریف تابع فرد است. 
با دامنه 
(محور Xها) 
را اثبات می کنیم. سایر حالات به طریقی مشابه اثبات می شوند. چون f و g دو تابع زوج هستند داریم:
تابعی فرد و سایر حالات یعنی:
توابعی زوج هستند. 
توابعی فرد می باشند.
